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sábado, julio 04, 2009
LA TRIGONOMETRIA Y LAS PIRAMIDES
LAS PIRÁMIDES Y LA GEOMETRIA
La Geometría del espacio, amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio y otras ramas de las matemáticas. En sí, es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la esfera, el prisma y la pirámide.
Pirámide, es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.
Pirámide regular poliedro limitado por una base que es un polígono cualquiera y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice da la pirámide.
Propiedades:
Si una pirámide es regular, sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
La altura de cada uno de dichos triángulos se llama apotema de la pirámide.
Sus aristas laterales son iguales.
Cuando una pirámide regular se secciona con un plano paralelo a su base, se llama tronco de pirámide regular a la parte de la pirámide comprendida entre el plano y la base.
A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular.
Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.
Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.
Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…
El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
Tronco de pirámide:
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.
Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.
El lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases paralelas y tienen superficies B y B*; y cuya altura es H, se obtiene mediante la fórmula siguiente:
Ejemplos:
Andrés y su hijo quieren construir una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular. ¿Qué cantidad de lona tienen que comprar si la apotema de la pirámide es 3m y un lado de la base mide 2.5 m?
Solución:
1. Área lateral = 4l· a
2
= 4 · (2.5m × 3m)
2
= 4 · 7.5 m
2
= 30m
2
=15 m
2. Área de la base = l = 5.5m · 2.5m
= 6.25 m
Área total de la pirámide es
Área lateral + Área de la base
15 m + 6.25 = 21.25 m
El comité de deportes del pueblo está construyendo una cancha de fútbol, pero necesita mover un montículo de forma piramidal de base rectangular que mide 30m de largo por 15m de ancho. Si la altura es 50m; ¿cuántos metros cúbicos de la tierra se tendrán que mover?
V= · B· H
V= · l· a· h
V= ·30m ·15m ·50m
V= · (22 500 m )
V= 7500 m
R/. Se deben mover 7500 m de tierra.
Las encontramos cotidianamente en:
En una candela en forma de pirámide.
En las pirámides de Egipto y México.
En el techo de una casa.
Y otros.
CONCLUSIÓN
Las pirámides, así como los demás poliedros se pueden encontrar fácilmente en todo lo que nos rodea.
Son figuras sencillas, aunque se vean muy complejas.
Para poder entenderlas tenemos que tener bien claro, sus correspondientes partes, áreas y entender las figuras planas.
BIBLIOGRAFÍA
La Geometría del espacio, amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio y otras ramas de las matemáticas. En sí, es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la esfera, el prisma y la pirámide.
Pirámide, es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.
Pirámide regular poliedro limitado por una base que es un polígono cualquiera y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice da la pirámide.
Propiedades:
Si una pirámide es regular, sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
La altura de cada uno de dichos triángulos se llama apotema de la pirámide.
Sus aristas laterales son iguales.
Cuando una pirámide regular se secciona con un plano paralelo a su base, se llama tronco de pirámide regular a la parte de la pirámide comprendida entre el plano y la base.
A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular.
Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.
Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.
Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…
El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
Tronco de pirámide:
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.
Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.
El lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases paralelas y tienen superficies B y B*; y cuya altura es H, se obtiene mediante la fórmula siguiente:
Ejemplos:
Andrés y su hijo quieren construir una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular. ¿Qué cantidad de lona tienen que comprar si la apotema de la pirámide es 3m y un lado de la base mide 2.5 m?
Solución:
1. Área lateral = 4l· a
2
= 4 · (2.5m × 3m)
2
= 4 · 7.5 m
2
= 30m
2
=15 m
2. Área de la base = l = 5.5m · 2.5m
= 6.25 m
Área total de la pirámide es
Área lateral + Área de la base
15 m + 6.25 = 21.25 m
El comité de deportes del pueblo está construyendo una cancha de fútbol, pero necesita mover un montículo de forma piramidal de base rectangular que mide 30m de largo por 15m de ancho. Si la altura es 50m; ¿cuántos metros cúbicos de la tierra se tendrán que mover?
V= · B· H
V= · l· a· h
V= ·30m ·15m ·50m
V= · (22 500 m )
V= 7500 m
R/. Se deben mover 7500 m de tierra.
Las encontramos cotidianamente en:
En una candela en forma de pirámide.
En las pirámides de Egipto y México.
En el techo de una casa.
Y otros.
CONCLUSIÓN
Las pirámides, así como los demás poliedros se pueden encontrar fácilmente en todo lo que nos rodea.
Son figuras sencillas, aunque se vean muy complejas.
Para poder entenderlas tenemos que tener bien claro, sus correspondientes partes, áreas y entender las figuras planas.
BIBLIOGRAFÍA
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA
Historia de la Trigonometría
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
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